向量与向量组

向量组的线性关系

线性表示

• 给定一组向量组，若向量$\beta$与向量组各向量($\alpha_1,...,\alpha_n$)满足以下关系，则$\beta$能被该向量组线性表示。

$$\beta = k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_n\alpha_n$$

• 向量组的等价

  • 即，两个向量组的每个向量都能由另一个向量组线性表示。
  • 两个向量组等价充要条件：$r(A)=r(B)=r(A,B)$
  • 性质：对称性（等价关系两边可交换），反身性（与自身等价），传递性

• 与线性方程组的关系

  • 则$\beta$能被该向量组线性表示,相当于对应的线性方程组有解（表示系数视为方程组的解）
  • 方程组有解就相当于$r(A)=r(A,\beta)$.

• 秩的关系(独立向量的个数)

  • $\beta$能够被该向量组线性表示，则是不与该向量组相互独立，是冗余向量

$$r(\alpha_1,...,\alpha_n) = r(\alpha1,...,\alpha_n,\beta)$$

• 一些性质
  • 若A可由B表示，则$r(A)\le r(B)$，$r(B)=r(B,A)$
  • 若A可由B表示，$r(A)=r(B)$，则A,B等价
  • 若A可由B表示，A的向量个数大于B,则A一定线性相关(有冗余向量)

线性相关

• 定义：给定一个向量组A，若存在不全为0的实数使得以下关系成立，则A是线性相关的。
• 反之，当且仅当$k_1=K_2=...=k_n=0$时以下式子才成立，则A是线性无关的。

$$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+...+k_n\alpha_n = 0$$

与齐次线性方程组的关系

• 若向量组$(a_1,a_2,...,a_n)$线性无关，则其对应的齐次线性方程组只有0解(没有冗余向量)，$r(a_1,a_2,...,a_n)=n$
• 若向量组$(a_1,a_2,...,a_n)$线性相关，则其对应的齐次线性方程组有非零解(有冗余向量)，$r(a_1,a_2,...,a_n)<n$

与线性表示的关系

• 向量组内部至少存在一个向量可以由其他向量线性表示，则该向量组线性相关
  • 有冗余向量，$r(a_1,a_2,...,a_n)<n$
• 向量组内部任何一个向量都不能由其他向量线性表示，则该向量组线性无关
  • 没有冗余向量,$r(a_1,a_2,...,a_n)=n$

一些推论

• 若向量组A线性相关，则任意增加同维向量得到的新向量组一定相关。（本身相关，增加相关）
• 若向量组A线性无关，则任意选取A中的向量得到的新向量组一定线性无关。（整体无关，部分无关）
• 若向量组A线性无关，新增一个向量后，向量组线性相关，则新向量能由A线性表示，且唯一表示方式。
• 若向量组A线性无关，新增一个向量后，向量组仍线性无关，则新向量不能由A线性表示。
• 若n维向量组$(a_1,a_2,...,a_m)$，$n<m$，则该向量组一定线性相关。（个数>维数一定相关）

极大线性无关组

• 定义：
  • 若向量组内部存在一个向量组，且该向量组满足以下条件，则为极大线性无关组。
  • 该向量组线性无关。
  • 原向量组的每一个向量都能由该向量组线性表示
• 极大无关组可能不是唯一的，但是极大无关组的向量个数是不变的。

极大无关组求解

• 将矩阵进行初等行变换，（不改变列向量的线性关系）化为行阶梯形矩阵。
• 则可以知道极大无关组向量个数为行阶梯形矩阵的秩，只须找对应数量的无关向量即可。

方程组解的结构

齐次线性方程组（$Ax=O$）

• 齐次线性方程组的基础解系，由若干个向量组成的向量组，彼此线性无关，且该齐次线性方程组的所有解都能由该向量组线性表示。
• 若存在n元齐次线性方程组($Ax=O$)，则基础解系中向量个数为：
  • $n-r(A)$（自由向量的个数，任意常数的个数）
• 齐次线性方程组的通解：
  • 由基础解系$(\beta_1,...,\beta_n)$与任意常数表示:$x=k_1\beta_1+k_2\beta_2,+...+k_n\beta_n$
• 基础解系满足的条件：
  • 每一个向量都是该齐次线性方程组的解。
  • 向量组线性无关。（无冗余向量）
  • 向量个数等于自由向量的个数$(n-r(A))$。

非齐次线性方程组($Ax=\beta$)

• 非齐次线性方程组的通解=对应齐次线性方程组的通解+一个非齐次线性方程组的特解

解之间的关系

• 若$\beta_1,\beta_2$为$Ax=O$的解，则$k_1\beta_1+k_2\beta_2$也是$Ax=O$的解。
• 若$\gamma_1,\gamma_2$为$Ax=b$的解，则$\gamma_1-\gamma_2$是$Ax=O$的解，$\gamma_1+k_1\beta_1+k_2\beta_2$是$Ax=b$的解。
• 只需将其代入方程组即可鉴别/验证。

秩的特殊性质

• 若$AB=O$，则有$r(A)+r(B)\le n$
• 若$Ax=O$与$Bx=O$同解，则$r(A)=r(B)$
• $r(A)=r(A^TA)$