矩阵的性质

运算律

$A+B=B+A$
$(A+B)+C=A+(B+C)$
$A+O = O+A=A$
$A+(-A)=O$
$k(lA) = (kl)A$
$k(A+B)=(kA+kB)$
$(k+l)A=kA+lA$
矩阵乘法不满足交换律
$AB=O \not \Rightarrow A=O\space or\space B=O$
$AB=AC$ 且 $A\not = O$ $\not \Rightarrow B=C$
$(AB)C=A(BC)$
$C(A+B)=CA+CB$
$(A+B)C=AC+BC$

特殊矩阵

零矩阵：元素全为0（类比实数的0）
单位矩阵：对角线为1，其余元素为0（类比实数的1）
数量矩阵：数乘单位矩阵得到的矩阵（类比实数的常数）
对角矩阵：主对角线之外的元素全为0
三角矩阵：主对角线一侧的元素全为0
对称矩阵：元素关于主对角线对称相等
行向量：只有一行的矩阵
列向量：只有一列的矩阵

转置（行列互换）的性质

$(A^T)^T=A$
$(A+B)^T=A^T+B^T$
$(\lambda A)^T = \lambda A^T$
$(AB)^T=B^TA^T$
$(A_1A_2\dots A_n)^T=A_n^TA_{n-1}^T\dots A_1^T$
$|A^T|=|A|$

方阵的行列式性质

$\left| A^T \right|=\left| A \right|$
$\left| kA \right|=k^n\left| A \right|$
$\left| A_1A_2\dots A_n \right|=\left| A_1 \right|\left| A_2 \right|\dots \left| A_n \right|$

伴随矩阵及其性质

$A^*=\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12} &\cdots &A_{1n} \\A_{21}&A_{22} &\cdots &A_{2n}\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ A_{n1}&A_{n2} &\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix} A_{11}&A_{21} &\cdots &A_{n1} \\A_{12}&A_{22} &\cdots &A_{n2}\\\vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\A_{1n}&A_{2n} &\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}$
其中 $A_{ij}$ 为原矩阵对应元素 $a_{ij}$ 的代数余子式
$AA^*=A^*A=\left| A \right| E$
$A^*=|A|A^{-1}$
$|A^*|=|A|^{n-1}$
$(A^*)^T=(A^T)^*$
$A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}$
$(A^*)^*=|A^{n-2}|A$
$(kA)^*=k^{n-1}A^*$
$(AB)^*=B^*A^*$

逆矩阵及其性质

若 $|A|\not = 0$ ，则存在唯一的矩阵 $B$ ,使得 $AB=BA=E$ ，则 $B$ 为 $A$ 的逆矩阵，矩阵 $A$ 可逆，逆矩阵记为 $B=A^{-1}$ （类比实数的倒数）
$A$ 可逆，等价于 $|A|\not = 0$ ， $A$ 为非奇异矩阵。
只有方阵才有逆矩阵
若 $A$ 可逆，则 $A^{-1}$ 也可逆，且有 $(A^{-1})^{-1}=A$
若加上 $k\not = 0$ ，则有 $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$
若 $A,B$ 均可逆，且为同阶方阵， $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
若 $A,A^T$ 均可逆， $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$
$A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}$
二阶矩阵的逆：主对调，副反号。
- $\begin{bmatrix}a &b\\c &d\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}d &-b\\-c &a\end{bmatrix}$
$(A^*)^{-1} = (A^{-1})^*$
$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$

矩阵分块

分块矩阵的加法与数乘与普通矩阵类似。
分块矩阵的乘法与普通矩阵类似，但是要求矩阵 $A\times B$ 时 $A$ 的列的分法与 $B$ 的行的分发一致。
分块（对角）矩阵的逆

$\begin{aligned}&\begin{pmatrix}A&&\\&B&\\&&C\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&&\\&B^{-1}&\\&&C^{-1}\end{pmatrix}\\&\begin{pmatrix}&&A\\&B&\\C&&\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}&&C^{-1}\\&B^{-1}&\\A^{-1}&&\end{pmatrix}\end{aligned}$

克拉默法则

对于一个n元线性方程组，它的系数矩阵为 $A$ $A$
- 限制：方程的个数=未知数的个数
- 若 $|A|=0$ ，该方程组无解或有无穷多解
- 若 $|A|\not =0$ ，该方程组有唯一解, $x_n=\frac{|A_n|}{A}$
对于齐次线性方程组(常数项均为0)，它的系数矩阵为 $A$ $A$
- 若 $|A|=0$ ，则齐次线性方程组有非零解
- 若 $|A|\not =0$ ，则齐次线性方程组只有零解

初等变换

初等行变换
- 行互换：交换两行
- 行倍乘：将一行的元素全部乘以 $k,k\not = 0$
- 行倍加：将一行的元素乘以 $k$ 后加到另一行
初等列变换
- 与初等行变换相似

初等矩阵

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵即为初等矩阵。
一个矩阵左乘一个初等矩阵等价于这个矩阵进行一次相应的初等行变换
一个矩阵右乘一个初等矩阵等价于这个矩阵进行一次相应的初等列变换

初等矩阵的逆

互换初等矩阵的逆就是它本身。
倍乘初等矩阵的逆就是倍乘其对应的倒数的初等矩阵。
倍加初等矩阵的逆就是其对应倍减初等矩阵。

初等变换求逆

如果一个矩阵可逆，这个矩阵一定是满秩矩阵，一定可以通过初等变换转化为单位矩阵
求 $A$ 的逆：对矩阵 $(A\space \space E)$ 进行行初等变换，将其变为 $(E \space \space X)$ 则 $X=A^{-1}$
求 $X=A^{-1}B$ ：对矩阵 $(A\space \space B)$ 进行行初等变换，将其变为 $(E \space \space X)$ 则 $X=A^{-1}B$
求 $X=BA^{-1}$ ：则进行转置， $X^T=(BA^{-1})^T=(A^{-1})^TB^T$ 对矩阵 $(A^T\space \space B^T)$ 进行行初等变换，将其变为 $(E \space \space Y)$ 则 $Y=X^T$ ，再转置一次即可。

行阶梯型矩阵

若有零行，则处于最下方。
非零行第一个不为0的元素的列下标随行数增加。

简化的行阶梯型矩阵

是阶梯形矩阵
非零行的第一个元素为1
非零行的第一个元素所在的列的其他元素均为0

矩阵等价

定义：若一个矩阵能通过有限次初等变换变成另一个矩阵，则这两个矩阵等价。
性质：反身性，对称性，传递性
等价矩阵有相同的秩

矩阵的秩

定义：矩阵 $A$ 有一个 $r$ 阶子式不为0，而 $r+1$ 阶子式全为0，则称 $r$ 为矩阵 $A$ 的秩，记作 $r(A)$
一个矩阵的秩有唯一性。
$r(A)=0$ 的充要条件， $A=O$
若 $A=(a_{i,j})_{m\times n}$ ，则有 $0\le r(A) \le min\{m,n\}$
$r(A^T)=r(A)=r(AA^T)=r(A^TA)$
$r(A+B)\le r(A)+r(B)$
$AB=O$ ，有 $r(A)+r(B)\le n$
若矩阵 $A$ 中有一个 $r$ 阶子式不为零，则 $r \le r(A)$ ，若所有的 $k$ 阶子式为0,则 $r(A)<k$
阶梯型矩阵的秩等于其非零行的个数(有效方程的个数)

高斯消元法

原理：初等行变换不改变方程的解，将增广矩阵转化为简化的行阶梯形矩阵即可解出。
对于一个非齐次线性方程组，其系数矩阵为 $A$ $A$ ，增广矩阵为 $\widetilde{A}$ $A$ ， $n$ $n$ 为其未知数的个数
- 无解的充要条件： $r(A)\not =r(\widetilde{A})$
- 有唯一解： $r(A)=r(\widetilde{A})=n$
- 有无穷多解： $r(A)=r(\widetilde{A})<n$ ，非自由变量由自由变量表示，自由变量为任意常数。
对于齐次线性方程组，其系数矩阵为 $A$ $A$ ， $n$ $n$ 为其未知数的个数
- 其至少有一组零解
- 仅有唯一零解： $r(A)=n$
- 有非零解的条件： $r(A)<n$
非齐次线性方程组不可能有零解。
齐次线性方程组不可能有唯一的非零解。