常见行列式的计算

• 注：本文只提供基本思路，不提供定理的证明，否则过于冗长。如果出现错误或者有什么补充的类型，欢迎联系~

三角型行列式

• 主对角型

$$\begin{vmatrix}a_{11}& & & \\&a_{22} & & \\& &\ddots & \\& & &a_{nn} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}& & & \\a_{21}&a_{22} & & \\\vdots&\vdots &\ddots & \\a_{n1}& a_{n2} &\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{11} &\cdots &a_{11} \\&a_{22} & \cdots & a_{11}\\ & &\ddots &\vdots \\& & &a_{nn}\end{vmatrix}=\prod_{k=1}^{n} a_{kk}$$

• 副对角型

$$\left| \begin{array}{cccc}0&\cdots&0&\mathrm{a_{1,n}}\\0&\cdots&\mathrm{a_{2,n-1}}&0\\\vdots&&\vdots&\vdots\\\mathrm{a_{n1}}&\cdots&0&0\end{array}\right| =\left| \begin{array}{cccc}a_{11}&\cdots&a_{1,n-1}&\mathrm{a_{1,n}}\\a_{21}&\cdots&\mathrm{a_{2,n-1}}&0\\\vdots&&\vdots&\vdots\\\mathrm{a_{n1}}&\cdots&0&0\end{array}\right|=\left| \begin{array}{cccc}0&\cdots&0&\mathrm{a_{1,n}}\\0&\cdots&\mathrm{a_{2,n-1}}&a_{2n}\\\vdots&&\vdots&\vdots\\\mathrm{a_{n1}}&\cdots&a_{n,n-1}&a_{nn}\end{array}\right|$$

$$=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2,n-1}\ldots a_{n1} =(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\prod_{i=1}^{n}a_{i,n+1-i}$$

通用方法

• 也叫打洞法，是将行列式化为主对角型行列式计算的方法。
• 基本思路为，用第一行的元素消去后面行的第一列的元素，再用第二行的元素消去后面行第二列的元素，以此类推，直到化简成主对角型行列式。
• 就是简单地利用行列式的性质即可，具体实现不再赘述。
• 缺点：抽象行列式不适用，大型行列式计算耗时。

行（列）和相等的行列式

• 基本思路
  • 将全部的行（列）加在一起放在第一行（列），提取公因式，再化简成对角型行列式

$$\begin{vmatrix}x+a_1&a_2&\cdots&a_n\\a_1&x+a_2&\cdots&a_n\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_1&a_2&\cdots&x+a_n\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x+\sum_{i=1}^na_i&a_2&\cdots&a_n\\\\x+\sum_{i=1}^na_i&x+a_2&\cdots&a_n\\\\\vdots&\vdots&&\vdots\\\\x+\sum_{i=1}^na_i&a_2&\cdots&x+a_n\end{vmatrix}$$

$$=\left.\left(x+\sum_{i=1}^na_i\right)\left|\begin{array}{cccc}1&a_2&\cdots&a_n\\1&x+a_2&\cdots&a_n\\\vdots&\vdots&&\vdots\\1&a_2&\cdots&x+a_n\end{array}\right.\right|=\left.\left(x+\sum_{i=1}^{n}a_{i}\right)\left|\begin{array}{cccc}1&0&\cdots&0\\1&x&\cdots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\1&0&\cdots&x\end{array}\right.\right|$$

$$=\left(x+\sum_{i=1}^{n}a_{i}\right)x^{n-1}.$$

箭型行列式

• 行列式特点

  • 有一条对角线上元素不为0，且有两条边元素不为0，其余元素全为0

• 基本思路

  • 将两边其中的一边全部化成0，使其成为对角型行列式

• 单条箭型

$$D_n=\begin{vmatrix}a_1&b_2&\cdots&b_n\\c_2&a_2&\\\vdots&&\ddots&\\c_n&&&a_n\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_1-\sum_{i=2}^n\frac{b_ic_i}{a_i}&b_2&\cdots&b_n\\&a_2&&\\&&\ddots&\\&&&a_n\end{vmatrix}$$

$$=\left(a_1-\sum_{i=2}^n\frac{b_ic_i}{a_i}\right)a_2\cdots a_n.$$

• 双箭型
  • 基本思路：从最后一行开始，用$b_n$消去$c_n$，直到化简成对角型行列式

$$D_n=\begin{vmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_{n-1}&a_n\\c_2&b_2&&&\\&\ddots&\ddots&&\\&&c_{n-1}&b_{n-1}&\\&&&c_n&b_n\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}r&*&\cdots&*&*\\&b_2&&&\\&&\ddots&&\\&&&b_{n-1}&\\&&&&b_n\end{vmatrix}=rb_2\cdots b_n$$

$$r=a_{1}-a_{2}\frac{c_{2}}{b_{2}}+a_{3}\frac{c_{2}c_{3}}{b_{2}b_{3}}-\cdots+(-1)^{n+1}a_{n}\frac{c_{2}\cdots c_{n}}{b_{2}\cdots b_{n}}.$$

范德蒙德行列式

• 证明使用数学归纳法证明，不再赘述。（记忆：下标大减小的全排列）

$$\begin{aligned}&\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\x_1&x_2&\cdots&x_n\\x_1^2&x_2^2&\cdots&x_n^2\\\vdots&\vdots&&\vdots\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}\end{vmatrix}=\prod_{1\leqslant i<j\leqslant n}\left(x_j-x_i\right)\end{aligned}$$

• 需要转换成范德蒙德行列式的情况（指数很有特点）

$$D_n=\begin{vmatrix}a_1^n&a_1^{n-1}b_1&\ldots&a_1b_1^{n-1}&b_1^n\\a_2^n&a_2^{n-1}b_2&\ldots&a_2b_2^{n-1}&b_2^n\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\a_n^n&a_n^{n-1}b_n&\ldots&a_nb_n^{n-1}&b_n^n\\a_{n+1}^n&a_{n+1}^{n-1}b_{n+1}&\ldots&a_{n+1}b_{n+1}^{n-1}&b_{n+1}^n\end{vmatrix}=$$

$$\begin{aligned}&\prod_{i=1}^{n+1}a_i^n\begin{vmatrix}1&\frac{b_1}{a_1}&\ldots&(\frac{b_1}{a_1})^{n-1}&(\frac{b_1}{a_1})^n\\1&\frac{b_2}{a_2}&\ldots&(\frac{b_2}{a_2})^{n-1}&(\frac{b_2}{a_2})^n\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\1&\frac{b_n}{a_n}&\ldots&(\frac{b_n}{a_n})^{n-1}&(\frac{b_n}{a_n})^n\\1&\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}&\ldots&(\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}})^{n-1}&(\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}})^n\end{vmatrix}\end{aligned}$$

$$=\prod_{1\leq i<j\leq n+1}(a_ib_j-b_ia_j)$$

加边法

• 根据代数余子式展开定理，可以加上一边辅助边来辅助行列式的计算

$$D=\begin{vmatrix}x_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\a_1&x_2&a_3&\cdots&a_n\\a_1&a_2&x_3&\cdots&a_n\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\a_1&a_2&a_3&\cdots&x_n\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&0&0&0&\cdots&0\\1&x_{1}&a_{2}&a_{3}&\cdots&a_{n}\\1&a_{1}&x_{2}&a_{3}&\cdots&a_{n}\\1&a_{1}&a_{2}&x_{3}&\cdots&a_{n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\1&a_{1}&a_{2}&a_{3}&\cdots&x_{n}\end{vmatrix}$$

$$=\begin{vmatrix}1&-a_{1}&-a_{2}&-a_{3}&\cdots&-a_{n}\\1&x_{1}-a_{1}&0&0&\cdots&0\\1&0&x_{2}-a_{2}&0&\cdots&0\\1&0&0&x_{3}-a_{3}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\1&0&0&0&\cdots&x_{n}-a_{n}\end{vmatrix}$$

$$=\begin{vmatrix}1+\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{x_k-a_k}&-a_1&-a_2&-a_3&\cdots&-a_n\\0&x_1-a_1&0&0&\cdots&0\\0&0&x_2-a_2&0&\cdots&0\\0&0&0&x_3-a_3&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&0&0&\cdots&x_n-a_n\end{vmatrix}$$

$$=\left(1+\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{x_k-a_k}\right)(x_1-a_1)(x_2-a_2)\cdotp\cdotp\cdotp(x_n-a_n)$$

• 加边法构造范德蒙德行列式

$$\left.\left|\begin{array}{cccc}1+x_1&1+x_1^2&\cdots&1+x_1^n\\1+x_2&1+x_2^2&\cdots&1+x_2^n\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1+x_n&1+x_n^2&\cdots&1+x_n^n\end{array}\right.\right|=\left.\left|\begin{array}{ccccc}1&0&0&\cdots&0\\1&1+x_1&1+x_1^2&\cdots&1+x_1^n\\1&1+x_2&1+x_2^2&\cdots&1+x_2^n\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&1+x_n&1+x_n^2&\cdots&1+x_n^n\end{array}\right.\right|$$

$$=\left.\left|\begin{array}{ccccc}1&-1&-1&\cdots&-1\\1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^n\\1&x_2&x_2^2&\cdots&x_2^n\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&x_n&x_n^2&\cdots&x_n^n\end{array}\right.\right|$$

$$=\left.\left|\begin{array}{ccccc}2&0&0&\cdots&0\\1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^n\\1&x_2&x_2^2&\cdots&x_2^n\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&x_n&x_n^2&\cdots&x_n^n\end{array}\right.\right|-\left|\begin{array}{ccccc}1&1&1&\cdots&1\\1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^n\\1&x_2&x_2^2&\cdots&x_2^n\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&x_n&x_n^2&\cdots&x_n^n\end{array}\right|$$

$$=\left[2\prod_{k=1}^{n}x_{k}-\prod_{k=1}^{n}\left(x_{k}-1\right)\right]\prod_{1\leq i<j\leq n}\left(x_{j}-x_{i}\right).$$

• 加两次边

$$\left|\begin{matrix}0&a_1+a_2&a_1+a_3&\ldots&a_1+a_n\\a_2+a_1&0&a_2+a_3&\ldots&a_2+a_n\\a_3+a_1&a_3+a_2&0&\ldots&a_3+a_n\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\a_n+a_1&a_n+a_2&a_n+a_3&\ldots&0\end{matrix}\right|$$

$$=\left|\begin{matrix}1&a_1&a_2&\ldots&a_n\\0&0&a_1+a_2&\ldots&a_1+a_n\\0&a_2+a_1&0&\ldots&a_2+a_n\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\0&a_n+a_1&a_n+a_2&\ldots&0\end{matrix}\right|$$

$$=\left|\begin{matrix}1&a_1&a_2&\dots&a_n\\-1&-a_1&a_1&\dots&a_1\\-1&a_2&-a_2&\dots&a_2\\\dots&\dots&\dots&\dots&\dots\\-1&a_n&a_n&\dots&-a_n\end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix}1&0&0&0&\ldots&0\\0&1&a_1&a_2&\ldots&a_n\\a_1&-1&-a_1&a_1&\ldots&a_1\\a_2&-1&a_2&-a_2&\ldots&a_2\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_n&-1&a_n&a_n&\ldots&-a_n\end{matrix}\right|$$

$$=\left|\begin{matrix}1&0&-1&-1&\ldots&-1\\0&1&a_1&a_2&\ldots&a_n\\a_1&-1&-2a_1&0&\ldots&0\\a_2&-1&0&-2a_2&\ldots&0\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\a_n&-1&0&0&\ldots&-2a_n\end{matrix}\right|$$

• 这样就化为变形的箭型行列式，将 $3,4...(n+2)$ 列乘$\frac{1}{2}$加到第 1 列上去，再分别乘以$\frac{-1}{2a_{1}},\frac{-1}{2a_{2}},\ldots,\frac{-1}{2a_{n}}$加到第 2 列上去，再按照第一列展开即可

两三角型

• 主对角线旁两三角相同的情况（见加边法）

$$D=\begin{vmatrix}x_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\a_1&x_2&a_3&\cdots&a_n\\a_1&a_2&x_3&\cdots&a_n\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\a_1&a_2&a_3&\cdots&x_n\end{vmatrix}$$

• 主对角线旁两三角不同的情况
  • 基本思路：将最后一列拆分，得到的两个行列式中，一个可以用递归的形式表示，另一个可以先用其他行减去最后一行，再按最后一列展开得到主对角型行列式。再利用对偶性（对行列式进行按行和按列操作是等价的），得出对称式，即可求解。

$$D_n=\left|\begin{matrix}x_1&b&b&\ldots&b\\a&x_2&b&\ldots&b\\a&a&x_3&\ldots&b\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a&a&a&\ldots&x_n\end{matrix}\right|=\begin{vmatrix}x_1&b&\cdots&b&b+0\\a&x_2&\cdots&b&b+0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\a&a&\cdots&x_{n-1}&b+0\\a&a&\cdots&a&b+(x_n-b)\end{vmatrix}$$

$$=\begin{vmatrix}x_1&b&\cdots&b&b\\a&x_2&\cdots&b&b\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\a&a&\cdots&x_{n-1}&b\\a&a&\cdots&a&b\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}x_1&b&\cdots&b&0\\a&x_2&\cdots&b&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\a&a&\cdots&x_{n-1}&0\\a&a&\cdots&a&(x_n-b)\end{vmatrix}$$

$$=\begin{vmatrix}x_1-a&b-a&\cdots&b-a&0\\0&x_2-a&\cdots&b-a&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&\cdots&x_{n-1}-a&0\\a&a&\cdots&a&b\end{vmatrix}+(x_n-b)D_{n-1}$$

$$=b\prod_{i=1}^{n-1}(x_i-a)+(x_n-b)D_{n-1}$$

注意到：

$$D_n=b\prod_{i=1}^{n-1}(x_i-a)+(x_n-b)D_{n-1}$$

根据行列式的对称性有：

$$D_n=+a\prod_{i=1}^{n-1}(x_i-b)+(x_n-a)D_{n-1}$$

综上解方程组得到：

$$D_n=\frac{b\prod_{i=1}^n(x_i-a)-a\prod_{i=1}^n(x_i-b)}{b-a}$$

拉普拉斯展开式的应用

• 基本思路：

  • 当0出现的次数多时，可以考虑交换行和列，将0凑在一起拼成一个小块再用拉普拉斯定理展开。

• 拉普拉斯展开+递归

展开后得到递推式：

$$D_{2n}=N_{1}^{(2)}A_{1}^{(2n-2)}=(a_{n}^{2}-b_{n}^{2})D_{2n-2}$$

由递推式可得：

$$D_{2n}=(a_{n}^{2}-b_{n}^{2})(a_{n-1}^{2}-b_{n-1}^{2})\cdots(a_{1}^{2}-b_{1}^{2})=\prod_{i=1}^{n}(a_{i}^{2}-b_{i}^{2})$$

逐差法

• 基本思路：

  • 若行列式前后两列元素之差固定，则采用逐步作差的方法，依次用前一行减去后一行

• 典例

$$D_n=\begin{vmatrix}0&1&2&\ldots&n-2&n-1\\1&0&1&\ldots&n-3&n-2\\2&1&0&\ldots&n-4&n-3\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\n-2&n-3&n-4&\ldots&0&1\\n-1&n-2&n-3&\ldots&1&0\end{vmatrix}$$

$$=\begin{vmatrix}-1&1&1&\ldots&1&1\\-1&-1&1&\ldots&1&1\\-1&-1&-1&\ldots&1&1\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\-1&-1&-1&\ldots&-1&1\\n-1&n-2&n-3&\ldots&1&0\end{vmatrix}$$

$$=\begin{vmatrix}-1&0&0&\ldots&0&0\\-1&-2&0&\ldots&0&0\\-1&-2&-2&\ldots&0&0\\\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\-1&-2&-2&\ldots&-2&0\\n-1&2n-3&2n-4&\ldots&n&n-1\end{vmatrix}$$

$$=(-1)^{n-1}(-2)^{n-2}(n-1)$$

三对角型行列式

• 基本思路：递推+数学归纳

$$D_n=\begin{vmatrix}a&b&&&&&\\c&a&b&&&&\\&c&a&\cdots&&&\\&&\cdots&\cdots&\cdots&&\\&&&\cdots&\cdots&a&b\\&&&&&c&a\end{vmatrix}$$

按第一列展开得递推关系式

$$D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2 \omega}$$

再解特征方程可得：

$$x_{1}=\frac{a+\sqrt{a^{2}-4bc}}{2},x_{2}=\frac{a-\sqrt{a^{2}-4bc}}{2} .$$

$$D_{n}=\frac{\left(x_{1}^{n+1}-x_{2}^{n+1}\right)}{x_{1}-x_{2}},\left(x_{1}\neq x_{2}\right).$$